10. (广东茂名8分) 如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别是两腰 $AC$、$BC$ 上的点，连接 $AE$、$BD$ 相交于点 $O$，$\angle 1 = \angle 2$. (1) 求证: $OD = OE$； (2) 求证: 四边形 $ABED$ 是等腰梯形； (3) 若 $AB = 3DE$，$\triangle DCE$ 的面积为 2，求四边形 $ABED$ 的面积.

题目

10. (广东茂名8分) 如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别是两腰 $AC$、$BC$ 上的点，连接 $AE$、$BD$ 相交于点 $O$，$\angle 1 = \angle 2$. (1) 求证: $OD = OE$； (2) 求证: 四边形 $ABED$ 是等腰梯形； (3) 若 $AB = 3DE$，$\triangle DCE$ 的面积为 2，求四边形 $ABED$ 的面积.

知识点

• 全等三角形的判定与性质
• 等腰三角形的性质
• 等腰梯形的判定
• 相似三角形的判定与性质

互动讲解

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步骤 1：证明 OD = OE

如何利用等腰三角形和已知角相等证得 OD = OE？

由 AC=BC 得 ∠CAB=∠CBA，结合 ∠1=∠2 得到 ∠OAB=∠OBA，进而证明 △ABO 为等腰三角形，再证 △ABD ≌ △BAE

利用等角对等边以及 ASA 全等判定定理

得到 BD = AE 且 OA = OB，作差得 OD = OE

步骤 2：证明四边形 ABED 是等腰梯形

如何证明 DE 平行于 AB 且两腰 AD 与 BE 相等？

由 △CDE 是等腰三角形（CD=CE）或利用等角转化得出 ∠CDE=∠CAB，从而推出 DE // AB，结合 AD=BE 判定等腰梯形

同位角相等两直线平行，且一组对边平行另一组对边不平行但相等

四边形 ABED 为等腰梯形

步骤 3：求四边形 ABED 的面积

已知 AB = 3DE 且 S_△DCE = 2，如何求四边形 ABED 的面积？

由 DE // AB 得 △CDE ∽ △CAB，相似比为 1:3，面积比为 1:9，求出 S_△CAB 后作差

相似三角形面积比等于相似比的平方，S_ABED = S_△CAB - S_△DCE

S_△CAB = 2 × 9 = 18，S_ABED = 18 - 2 = 16