立体几何建模实验

题目

【2020上海卷】 已知边长为1的正方形 $ABCD$，正方形 $ABCD$ 绕 $BC$ 旋转形成一个圆柱。 (1) 求圆柱的表面积； (2) 正方形 $ABCD$ 绕 $BC$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 到 $A_1BCD_1$，求 $AD_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。

知识点

• 圆柱的表面积
• 空间直角坐标系
• 直线与平面所成的角
• 空间向量的应用

互动讲解

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步骤 1：选择本问的计算关系

线面角的正弦怎样转化为方向向量与法向量的关系？

建立空间直角坐标系，并把题面点写成精确坐标。 先把题目所求转化为可由已知坐标精确计算的关系：sinθ = |v·n|/(|v||n|)。

先把题面条件落实为可核对的坐标，再选择与目标量对应的精确关系。

$sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $使用下列已验证向量与坐标$

步骤 2：准备目标角的确定性计算

线面角的正弦怎样转化为方向向量与法向量的关系？

$B=\left(0,0,0\right)$（取 B 为原点） 以 B 为基准沿 x 轴取有向距离 $1$，得到 $A=\left(1,0,0\right)$ 以 B 为基准沿 z 轴取有向距离 $1$，得到 $A1=\left(0,0,1\right)$ 以 B 为基准沿 y 轴取有向距离 $1$，得到 $C=\left(0,1,0\right)$ 由题面条件“正方形A1BCD1中A1D1平行于BC”、“正方形A1BCD1中CD1平行于BA1”联立确定 $D1=\left(0,1,1\right)$；确定性核对关系：两条方向向量叉积为零；两条方向向量叉积为零 由两点坐标相减：$\overrightarrow{AD1}=D1-A=\left[\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1\\1\\1\end{matrix}\right]$。 先在平面内取两个不共线向量：$\overrightarrow{AB}=\left[\begin{matrix}-1\\0\\0\end{matrix}\right]$，$\overrightarrow{AC}=\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right]$；再计算叉积：$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left[\begin{matrix}0\\0\\-1\end{matrix}\right]$。

两点坐标之差表示从起点指向终点的位移，因此可作为这条直线的方向向量。 叉积同时垂直于平面内两个不共线向量，所以所得非零向量可作为该平面的法向量。

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$，代入 $\left[\begin{matrix}-1\\0\\0\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right]$

步骤 3：代入公式得到精确表达式

把已验证的量代入公式后，得到什么精确表达式？

$sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $使用下列已验证向量与坐标$ $sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $|-1|/(sqrt(3)·1)$

正方形ABCD边长为1；正方形ABCD边长为1；正方形ABCD边长为1；正方形ABCD边长为1；正方形ABCD中AB垂直于BC；正方形ABCD中AD平行于BC；正方形ABCD中CD平行于AB；旋转后BA1长度为1；旋转后A1D1长度为1；旋转后CD1长度为1；正方形A1BCD1中A1D1平行于BC；正方形A1BCD1中CD1平行于BA1；A1B垂直于BC；绕BC旋转pi/2使得BA1垂直于AB；按题面长度与垂直关系选定坐标原点与轴向，保证各点坐标为精确值。；建立空间直角坐标系，并把题面点写成精确坐标。；点 B 的坐标：$\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$；点 A 的坐标：$\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]$；点 A1 的坐标：$\left[\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right]$；点 C 的坐标：$\left[\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right]$；点 D1 的坐标：$\left[\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right]$；$\overrightarrow{AD1}=D1-A$，代入 $\left(0,1,1\right)-\left(1,0,0\right)$；$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$，代入 $\left[\begin{matrix}-1\\0\\0\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right]$；$sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $使用下列已验证向量与坐标$；$v·n$，代入 $(-1)(0)+(1)(0)+(1)(-1)$；$|v|,|n|$，代入 $\left[\begin{matrix}-1\\1\\1\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0\\0\\-1\end{matrix}\right]$；$sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $|-1|/(sqrt(3)·1)$

$sinθ = |v·n|/(|v||n|)$，代入 $|-1|/(sqrt(3)·1)$

步骤 4：化简并回答本问

化简后，本问要求的精确值是多少？

完成精确化简，并回到题目要求的几何量。

由上一步的精确表达式完成化简，并把结果对应回题目所问的角或距离。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$